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位置式PID算法和增量式PID算法的差异

1 前言

控制系统通常根据有没有反馈会分为开环系统和闭环系统,在闭环系统的控制中,PID算法非常强大,其三个部分分别为;

  • P:比例环节;
  • I:积分环节;
  • D:微分环节;

PID算法可以自动对控制系统进行准确且迅速的校正,因此被广泛地应用于工业控制系统。

2 开环控制

首先来看开环控制系统,如下图所示,隆哥蒙着眼,需要走到虚线旗帜所表示的目标位置,由于缺少反馈(眼睛可以感知当前距离和位置,由于眼睛被蒙上没有反馈,所以这也是一个开环系统),最终隆哥会较大概率偏离预期的目标,可能会运行到途中实线旗帜所表示的位置。位置式PID算法和增量式PID算法的差异 开环系统的整体结构如下所示;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

这里做一个不是很恰当的比喻;

  • Input:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);
  • Controller:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步
  • Process:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;

看来没有反馈的存在,很难准确到达目标位置。

3 闭环控制

所以为了准确到达目标位置,这里就需要引入反馈,具体如下图所示;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

在这里继续举个不怎么恰当的比喻;隆哥重获光明之后,基本可以看到目标位置了;

  • 第一步Input:告诉隆哥目标距离的直线位置(10米);
  • 第二步Controller:隆哥大脑中计算出到达目标所需要走多少步
  • 第三步Process:双腿作为执行机构,输出了相应的步数,但是最终仍然偏离了目标;
  • 第四步Feedback通过视觉获取到目前已经前进的距离,(比如前进了2米,那么还有8米的偏差);
  • 第五步err:根据偏差重新计算所需要的步数,然后重复上述四个步骤,最终隆哥达到最终的目标位置。

4 PID

4.1 系统架构

虽然在反馈系统下,隆哥最终到达目标位置,但是现在又来了新的任务,就是又地到达目标位置。所以这里隆哥开始采用PID Controller,只要适当调整PID的参数,就可以到达目标位置,具体如下图所示;位置式PID算法和增量式PID算法的差异 隆哥为了最短时间内到达目标位置,进行了不断的尝试,分别出现了以下几种情况;

  • 跑得太快,最终导致冲过了目标位置还得往回跑
  • 跑得太慢,最终导致到达目标位置所用时间太长

经过不断的尝试,终于找到了最佳的方式,其过程大概如下图所示;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

这里依然举一个不是很恰当的比喻;

  • 第一步:得到与目标位置的距离偏差(比如最开始是10米,后面会逐渐变小);
  • 第二步:根据误差,预估需要多少速度,如何估算呢,看下面几步;

P比例则是给定一个速度的大致范围,满足下面这个公式;

因此比例作用相当于某一时刻的偏差err)与比例系数的乘积,具体如下所示;位置式PID算法和增量式PID算法的差异比例作用

绿色线为上述例子中从初始位置到目标位置的距离变化;红色线为上述例子中从初始位置到目标位置的偏差变化,两者为互补的关系;


I积分则是误差在一定时间内的和,满足以下公式;

如下图所示;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

红色曲线阴影部分面积即为积分作用的结果,其不断累积的误差,最终乘以积分系数就得到了积分部分的输出;


D微分则是误差变化曲线某处的导数,或者说是某一点的斜率,因此这里需要引入微分;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

从图中可知,当偏差变化过快,微分环节会输出较大的负数,作为抑制输出继续上升,从而抑制过冲。


综上,,分别增加其中一项参数会对系统造成的影响总结如下表所示; 参数 上升时间 超调量 响应时间 稳态误差 稳定性

Kp 减少 增加 小变化 减少 降级
Ki 减少 增加 增加 消除 降级
Kd 微小的变化 减少 减少 理论上没有影响 小,稳定性会提升

4.2 理论基础

上面扯了这么多,无非是为了初步理解PID在负反馈系统中的调节作用,下面开始推导一下算法实现的具体过程;PID控制器的系统框图如下所示;位置式PID算法和增量式PID算法的差异图片来自Wiki 因此不难得出输入和输出的关系;位置式PID算法和增量式PID算法的差异

是比例增益;是积分增益;是微分增益;

4.3 离散化

在数字系统中进行PID算法控制,需要对上述算法进行离散化;假设系统采样时间为则将输入序列化得到;位置式PID算法和增量式PID算法的差异 将输出序列化得到;位置式PID算法和增量式PID算法的差异

  • 比例项:离散化
  • 积分项:
  • 微分项:

所以最终可以得到式①,也就是网上所说的位置式PID位置式PID算法和增量式PID算法的差异

将式①再做一下简化;

最终得到增量式PID的离散公式如下:位置式PID算法和增量式PID算法的差异

4.4 伪算法

这里简单总结一下增量式PID实现的伪算法;

 

previous_error:=0//上一次偏差 integral:=0//积分和 //循环 //采样周期为dt loop: //setpoint设定值 //measured_value反馈值 error:=setpoint−measured_value//计算得到偏差 integral:=integral+error×dt//计算得到积分累加和 derivative:=(error−previous_error)/dt//计算得到微分 output:=Kp×error+Ki×integral+Kd×derivative//计算得到PID输出 previous_error:=error//保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差 wait(dt)//等待下一次采用 gotoloop

5 C++++实现

这里是增量式PID算法的C语言实现;pid.cpp

 

#ifndef_PID_SOURCE_ #define_PID_SOURCE_ #include #include #include“pid.h” usingnamespacestd; classPIDImpl { public: PIDImpl(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi); ~PIDImpl(); doublecalculate(doublesetpoint,doublepv); private: double_dt; double_max; double_min; double_Kp; double_Kd; double_Ki; double_pre_error; double_integral; }; PID::PID(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi) { pimpl=newPIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki); } doublePID::calculate(doublesetpoint,doublepv) { returnpimpl->calculate(setpoint,pv); } PID::~PID() { deletepimpl; } /** *Implementation */ PIDImpl::PIDImpl(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi): _dt(dt), _max(max), _min(min), _Kp(Kp), _Kd(Kd), _Ki(Ki), _pre_error(0), _integral(0) { } doublePIDImpl::calculate(doublesetpoint,doublepv) { //Calculateerror doubleerror=setpoint-pv; //Proportionalterm doublePout=_Kp*error; //Integralterm _integral+=error*_dt; doubleIout=_Ki*_integral; //Derivativeterm doublederivative=(error-_pre_error)/_dt; doubleDout=_Kd*derivative; //Calculatetotaloutput doubleoutput=Pout+Iout+Dout; //Restricttomax/min if(output>_max) output=_max; elseif(output< _min )         output = _min;     //Saveerrortopreviouserror _pre_error=error; returnoutput; } PIDImpl::~PIDImpl() { } #endifpid.h

 

#ifndef_PID_H_ #define_PID_H_ classPIDImpl; classPID { public: //Kp-proportionalgain //Ki-Integralgain //Kd-derivativegain //dt-loopintervaltime //max-maximumvalueofmanipulatedvariable //min-minimumvalueofmanipulatedvariable PID(doubledt,doublemax,doublemin,doubleKp,doubleKd,doubleKi); //Returnsthemanipulatedvariablegivenasetpointandcurrentprocessvalue doublecalculate(doublesetpoint,doublepv); ~PID(); private: PIDImpl*pimpl; }; #endifpid_example.cpp

 

#include“pid.h” #include intmain(){ PIDpid=PID(0.1,100,-100,0.1,0.01,0.5); doubleval=20; for(inti=0;i< 100;i++){ doubleinc=pid.calculate(0,val); printf(“val:%7.3finc:%7.3f “,val,inc); val+=inc; } return0; } 编译并测试

 

g++-cpid.cpp-opid.o #Tocompileexamplecode: g++pid_example.cpppid.o-opid_example

6 总结

以上内容总结了PID控制器算法在闭环系统中根据偏差变化的具体调节作用,每个环节可能对系统输出造成什么样的变化,给出了位置式和增量式离散PID算法的推导过程,并给出了位置式算法的C++程序实现。

1 什么是增量式PID?

先看一下增量式PID的离散公式如下:

:比例系数 :积分系数 :微分系数 :偏差

对于所谓的位置式增量式的算法,这两者只是在算法的实现上的存在差异,本质的控制上对于系统控制的影响还是相同,单纯从输入和输出的角度来比较,具体如下表所示;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

这里简单的说明一下;

  • 位置式:位置式算法较为简单,直接输入当前的偏差 ,即可得到输出;
  • 增量式:增量式算法需要保存历史偏差,,即在第次控制周期时,需要使用第和第次控制所输入的偏差,最终计算得到 ,此时,这还不是我们所需要的PID输出量;所以需要进行累加;

不难发现第一次控制周期时,即时;

由以上公式我们可以推导出下式;

所以可以看出,最终PID的输出量,满足以下公式;

可见增量式算法,就是所计算出的PID增量的历史累加和;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

2 举个例子

2.1 位置式PID

下面从一个简单的例子中去理解一下增量式PID,这里依然举一个不是很恰当的例子;如果是位置式PID算法的话:

  • 隆哥对一个直流电机进行调速,设定了转速为 1000
  • 这时由于反馈回来的速度和设定的速度偏差为 ;
  • 经过位置式PID计算得到;
  • 作为Process的输入值(可以是PWM的占空比),最终Process输出相应的PWM驱动直流电机;
  • 反馈装置检测到电机转速,然后重复以上步骤;

整体框图如下所示;位置式PID算法和增量式PID算法的差异

2.2 增量式PID

对于增量式PID来说;

  • 隆哥对一个直流电机进行调速,设定了转速为 1000
  • 这时由于反馈回来的速度和设定的速度偏差为 ,系统中保存上一次的偏差和上上次的偏差,这三个输入量经过增量PID计算得到;
  • 系统中还保存了上一次的PID输出的,所以加上增量,就是本次控制周期的PID输出——;
  • 作为Process的输入值(可以是PWM的占空比),最终Process输出相应的PWM驱动直流电机;
  • 反馈装置检测到电机转速,然后重复以上步骤;

整体框图如下所示;

位置式PID算法和增量式PID算法的差异

所以这里不难发现,所谓增量式PID,它的特点有:

  • 需要输入历史的偏差值;
  • 计算得到的是PID输出增量,因此每一次需要累加历史增量最为当前的PID输出;

下面简单介绍一下如何实现增量式PID算法;

3 伪算法

 previous02_error:=0//上上次偏差 previous01_error:=0//上一次偏差 integral:=0//积分和 pid_out:=0//pid增量累加和 //循环 //采样周期为dt loop: //setpoint设定值 //measured_value反馈值 error:=setpoint−measured_value//计算得到偏差 proportion:=error-previous01_error//计算得到比例输出 integral:=error×dt//计算得到积分累加和 derivative:=(error−2*previous01_error+previous02_error)/dt//计算得到微分 pid_delta:=Kp×error+Ki×integral+Kd×derivative//计算得到PID增量 pid_out:=pid_out+pid_delta//计算得到PID输出  //保存当前的偏差和上一次偏差作为下一次采样所需要的历史偏差 previous02_error:=previous01_error previous01_error:=error//保存当前偏差为下一次采样时所需要的历史偏差 wait(dt)//等待下一次采用 gotoloop  

4 C语言实现

这里直接使用了TI公司的PID算法,做了积分抗饱和;具体可以参考controlSUITElibsapp_libsmotor_controlmath_blocksv4.2pid_grando.h

具体代码如下所示;

pid_grando.h

 /*================================================================================= Filename:PID_GRANDO.H ===================================================================================*/   #ifndef__PID_H__ #define__PID_H__  typedefstruct{_iqRef;//Input:referenceset-point _iqFbk;//Input:feedback _iqOut;//Output:controlleroutput _iqc1;//Internal:derivativefiltercoefficient1 _iqc2;//Internal:derivativefiltercoefficient2 }PID_TERMINALS; //note:c1&c2placedheretokeepstructuresizeunder8words  typedefstruct{_iqKr;//Parameter:referenceset-pointweighting _iqKp;//Parameter:proportionalloopgain _iqKi;//Parameter:integralgain _iqKd;//Parameter:derivativegain _iqKm;//Parameter:derivativeweighting _iqUmax;//Parameter:uppersaturationlimit _iqUmin;//Parameter:lowersaturationlimit }PID_PARAMETERS;  typedefstruct{_iqup;//Data:proportionalterm _iqui;//Data:integralterm _iqud;//Data:derivativeterm _iqv1;//Data:pre-saturatedcontrolleroutput _iqi1;//Data:integratorstorage:ui(k-1) _iqd1;//Data:differentiatorstorage:ud(k-1) _iqd2;//Data:differentiatorstorage:d2(k-1) _iqw1;//Data:saturationrecord:[u(k-1)-v(k-1)] }PID_DATA;   typedefstruct{PID_TERMINALSterm; PID_PARAMETERSparam; PID_DATAdata; }PID_CONTROLLER;  /*----------------------------------------------------------------------------- DefaultinitalisationvaluesforthePIDobjects -----------------------------------------------------------------------------*/  #definePID_TERM_DEFAULTS{ 0, 0, 0, 0, 0 }  #definePID_PARAM_DEFAULTS{       _IQ(1.0), _IQ(1.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(1.0), _IQ(1.0), _IQ(-1.0) }  #definePID_DATA_DEFAULTS{    _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(0.0), _IQ(1.0) }   /*------------------------------------------------------------------------------ PIDMacroDefinition ------------------------------------------------------------------------------*/  #definePID_MACRO(v)              /*proportionalterm*/    v.data.up=_IQmpy(v.param.Kr,v.term.Ref)-v.term.Fbk;                 /*integralterm*/       v.data.ui=_IQmpy(v.param.Ki,_IQmpy(v.data.w1,  (v.term.Ref-v.term.Fbk)))+v.data.i1;       v.data.i1=v.data.ui;            /*derivativeterm*/     v.data.d2=_IQmpy(v.param.Kd,_IQmpy(v.term.c1, (_IQmpy(v.term.Ref,v.param.Km)-v.term.Fbk)))-v.data.d2;       v.data.ud=v.data.d2+v.data.d1;           v.data.d1=_IQmpy(v.data.ud,v.term.c2);             /*controloutput*/      v.data.v1=_IQmpy(v.param.Kp, (v.data.up+v.data.ui+v.data.ud)); v.term.Out=_IQsat(v.data.v1,v.param.Umax,v.param.Umin); v.data.w1=(v.term.Out==v.data.v1)?_IQ(1.0):_IQ(0.0);  #endif//__PID_H__    

example

 /*InstancethePIDmodule*/  PIDpid1={PID_TERM_DEFAULTS,PID_PARAM_DEFAULTS,PID_DATA_DEFAULTS};  main(){  pid1.param.Kp=_IQ(0.5); pid1.param.Ki=_IQ(0.005); pid1.param.Kd=_IQ(0); pid1.param.Kr=_IQ(1.0); pid1.param.Km=_IQ(1.0); pid1.param.Umax=_IQ(1.0); pid1.param.Umin=_IQ(-1.0);  }  voidinterruptperiodic_interrupt_isr(){  pid1.Ref=input1_1;//Pass_iqinputstopid1 pid1.Fbk=input1_2;//Pass_iqinputstopid1 PID_MACRO(pid1);//Callcomputemacroforpid1 output1=pid1.Out;//Accesstheoutputofpid1 }  

5 总结

简单总结了位置式PID算法增量式PID算法的差异,参考了TI公司的增量式PID算法实现,对于不同的控制对象可以根据系统要求选择合适的PID算法。

原文标题:干货 | 什么是PID算法,增量式PID又是什么?

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审核编辑:汤梓红

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